Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是PC的中点，=PD，BC=AD．

（Ⅰ）求证：平面BMQ；

（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD．

 

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN．…… 2分

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．

∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M在是棱PC的中点，

∴ MN // PA           ……………………  4分

∵MN平面MQB，PA平面MQB，……… 5分

∴ PA // 平面MBQ．   …………………  6分

（Ⅱ）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD // BQ ．        ………………… 8分

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥A   D．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ………… 10分

∴BQ⊥平面PA            D．            ………  11分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PA  D．     …………… 12分

       另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点

       ∴ BC // DQ 且BC= DQ，

       ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥A D．

       ∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．

       ∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

       ∵ AD平面PAD，

       ∴平面PQB⊥平面PAD．