Question

设实数x，y满足条件

1≤lgxy2≤2 -1≤lg x2 y ≤2

，则lg

x3

y4

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：要求 lg

x3

y4

的范围，可先将 lg

x3

y4

用 lgxy²和 lg

x2

y

表示，再根据

1≤lgxy2≤2 -1≤lg x2 y ≤2

结合不等式的性质解决问题

解答：解：令  lg

x3

y4

=a lgxy²+b lg

x2

y

，
即 2lgx-

1

3

lgy=a(lgx-lgy)+b(2lgx-

1

2

lgy)
即

2=a+2b 1 3 =a+ 1 2 b

解得

a=1 b= 1 2

∴lg

x3

y4

=lgxy²+

1

2

lg

x2

y

，
∵

1≤lgxy2≤2 -1≤lg x2 y ≤2

∴lg

x3

y4

的最大值为3．
故答案为：3．

点评：由a＜f₁（x₁，y₁）＜b，c＜f₂（x₁，y₁）＜d，求g（x₁，y₁）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x₁，y₁）=pf₁（x₁，y₁）+qf₂（x₁，y₁），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得 g（x₁，y₁）的范围．此外，本例也可用线性规划的方法来求解．