Question

20.用总长14.8 m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

Answer 1

20.本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识。

解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+0.5）m，高为＝3.2－2x.

由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6，

设容器的容积为y m³，则有y=x（x+0.5）（3.2－2x）（0<x<1.6）.

整理，得y=－2x³+2.2x²+1.6x                                                            

∴=－6x²+4.4x+1.6.                                                        

令＝0，有－6x²+4.4x+1.6=0，

即 15x²－11x－4=0，

 

解得x₁=1，x₂=－（不合题意，舍去）.                      

从而，在定义域（0，1.6）内只有在x=1处使＝0.由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x=1时y取得最大值

y_最大=－2+2.2+1.6=1.8，

这时，高为3.2－2×1＝1.2.

答：容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m³.