Question

设函数，其图象与轴交于，两点，且x₁＜x₂．
（1）求的取值范围；
（2）证明：（为函数的导函数）；
（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记，求的值．

Answer 1

（1）;（2）详见解析;（3） 

试题分析：（1）根据题意图象与轴交于，两点，由零点的定义可得：函数的图象要与x轴有两个交点，而此函数的特征不难发现要对它进行求导，运用导数与函数的关系进行求函数的性质，即：，a的正负就决定着导数的取值情况，故要对a进行分类讨论：分和两种情况，其中显然不成立，时转化为函数的最小值小于零，即可求出a的范围; （2）由图象与轴交于，两点，结合零点的定义可得：整理可得：，观察其结构特征，可想到整体思想，即：，目标为：，运用整体代入化简可得：，转化为对函数进行研究，运用导数知识不难得到，即：，故而是单调增函数，由不等式知：，问题可得证; （3）由题意有，化简得，而在等腰三角形ABC中，显然只有C = 90°，这样可得，即，结合直角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即，运用代数式知识处理可得： ，而，所以，即，所求得 
试题解析：（1）．
若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．         2分
所以，令，则．
当时，，是单调减函数；时，，是单调增函数；
于是当时，取得极小值．                                    4分
因为函数的图象与轴交于两点，(x₁＜x₂)，
所以，即
此时，存在；
存在，
又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围.   6分
（2）因为 两式相减得
记，则，     8分
设，则，所以是单调减函数，
则有，而，所以．
又是单调增函数，且
所以．                                           11分
（3）依题意有，则．
于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，        13分
所以，即，
由直角三角形斜边的中线性质，可知，
所以，即，
所以，
即．
因为，则，
又，所以，                    15分
即，所以                               16分