Question

（2013•蓟县二模）已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，且

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

，（n∈N^*，n≥2），数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（Ⅰ）判断数列{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）设cn=-an(bn-

n2

2

-1)，求c₁+c₂+c₃+…+c_n；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列{a_n}，若数列{l_n}满足l_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在每两个l_k与l_k+1之间都插入2^k-1（k=1，2，3，…k∈N^*）个2，使得数列{l_n}变成了一个新的数列{t_p}，（p∈N^*）试问：是否存在正整数m，使得数列{t_p}的前m项的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据已知等式，将a_n=S_n-S_n-1和a_n+1=S_n+1-S_n代入，化简整理得a_n+1=2a_n+1，由此即可证出数列{a_n+1}是公比为2的等比数列；
（II）根据（I）的结论算出a_n=2ⁿ-1，利用对数的运算法则算出b_n+1-b_n=n，采用累加的方法算出b_n=1+

n(n-1)

2

．从而化简出c n=n•2n-1-

n

2

，利用错位相减法并结合等差数列的求和公式，即可算出c₁+c₂+c₃+…+c_n的值；
（II）首先根据a_n通项公式算出l_n=n（n∈N^*），结合题意利用等差、等比数列的求和公式算出得到数列{t_n}中，l_k（含其本身）前的所有项之和等于

k(k+1)

2

+2^k-2．再验证当k=10时，和为1077＜2011；
当k=11时，和为2112＞2011．从而得到2011项在k=10与k=11之间，而2011-1077=467×2恰好为2的整数倍，由此加以计算即可得到存在m=998，使得T_m=2011．

解答：解：（I）∵

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

∴

an+1

an

=

2an+1

an

，化简得a_n+1=2a_n+1
由此可得a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1）
∴数列{a_n+1}是公比为2的等比数列；
（II）由（I），得a_n+1=（a₁+1）•2^n-1
∵a₁+1=2，∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1，
得b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n，即b_n+1=log₂2ⁿ+b_n，b_n+1=n+b_n，
∴b_n+1-b_n=n，分别取n=1、2、3、…、n-1
得b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=1+[1+2+3+…+（n-1）]=1+

n(n-1)

2

∴cn=-an(bn-

n2

2

-1)=(2n-1)•

n

2

=n•2n-1-

n

2

令An=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1①
可得2An=1•21+2•22+3•23+…+n•2n②…（6分）
①-②得-An=1+21+22+23+…+2n-1-n•2n…（7分）
∴-A_n=

1-2n

1-2

-n•2n=2n-1-n•2n，整理得A_n=（n-1）2ⁿ+1
令B_n=

1

2

（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

4

∴c₁+c₂+…+c_n=A_n-B_n=（n-1）2ⁿ+1-

n(n+1)

4

…（10分）
（I）∵l_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n（n∈N^*）
数列{t_n}中，l_k（含其本身）前的所有项之和为：
（1+2+3+…+k）+2（2⁰+2¹+2²+…+2^k-2）=

k(k+1)

2

+2^k-2
当k=10时，其和为55+2¹⁰-2=1077＜2011；
当k=11时，其和为66+2¹¹-2=2112＞2011
又∵2011-1077=467×2，恰好为2的整数倍
∴当m=10+（1+2+2²+…+2⁸）+467=988时，T_m=2011
综上所述，得存在m=998，使得T_m=2011．

点评：本题着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式、数列的通项与求和和对数的运算法则等知识，考查了转化、化归与函数方程数学思想的应用，属于中档题．