Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+ln x是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：先求出定义域和导函数，再结合题意得：f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，再由分离常数法得：
a≥3-（x+

1

x

）在（0，+∞）恒成立，由基本不等式求出x+

1

x

范围，再求出a的范围．

解答：解：函数的定义域是（0，+∞），
且f′(x)=x+(a-3)+

1

x

=

x2+(a-3)x+1

x

，
∵函数f（x）是其定义域上的单调函数，

∴f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即x²+（a-3）x+1≥0在（0，+∞）恒成立，

则a≥3-（x+

1

x

）在（0，+∞）恒成立，

∵x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号，

∴a≥3-2=1．
故选B．

点评：本题考查了导数与函数的单调性关系，以及恒成立问题的转化，考查了转化思想和分离常数法．