[题目]如图.在等腰三角形ABC中.已知AB=AC=1.A=120°.E.F分别是边AB.AC上的点.且 . .其中m.n∈(0.1)．若EF.BC的中点分别为M.N.且m+4n=1.则的最小值为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则的最小值为．

【答案】
【解析】解：连接AM、AN， ∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴ =| || |cos120°=﹣
∵AM是△AEF的中线，
∴ = （）= （ + ）
同理，可得 = （ + ），
由此可得 = ﹣ = （1﹣m） + （1﹣n）
∴ =[ （1﹣m） + （1﹣n） ]2= （1﹣m）2+ （1﹣m）（1﹣n） + （1﹣n）2
= （1﹣m）2﹣ （1﹣m）（1﹣n）+ （1﹣n）2 ，
∵m+4n=1，可得1﹣m=4n
∴代入上式得 = ×（4n）2﹣ ×4n（1﹣n）+ （1﹣n）2= n2﹣ n+
∵m，n∈（0，1），
∴当n= 时，的最小值为，此时的最小值为．
所以答案是：

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