Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，点E，F，D分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=，
求证：（Ⅰ）PA⊥平面EBO；
（Ⅱ）FG∥平面EBO。

Answer 1

证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形， △ABC为等边三角形， （Ⅰ）因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC， 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC， BO平面ABC， 所以BO⊥面PAC， 因为PA平面PAC，所以BO⊥PA， 在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点， 所以OE⊥PA， 又BO∩OE=O， 所以PA⊥平面EBO；
（Ⅱ）连接AF交BE于Q，连接QO， 因为E，F，O分别为边PA，PB，AC的中点， 所以，且Q是△PAB的重心， 于是， 所以FG∥QO， 因为FG平面EBO，QO平面EBO， 所以FG∥平面EBO。