Question

已知数列{a_n}满足：a₁=，a₂=，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是单调递增数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可以先根据数列{a_n}的递推关系式求的数列的通项，再有数列{b_n}满足的关系，将a_n 与b_n作差化简即可获得解答；
（Ⅱ）先结合（Ⅰ）的结论求的通项公式b_n-a_n，又数列{a_n}的通项知道，故可求得数列{b_n}的通项，通过通项研究即可解答；（Ⅲ）结合数列的变化将问题转化为通项的不等关系，解方程组即可获得解答．
解答：解：（Ⅰ）2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N*）∴{a_n}是等差数列．
又a₁=，a₂=，
∴a_n=+（n-1）-=
b_n=b_n-1+（n≥2，n∈N*），
∴b_n+1-a_n+1=b_n-=-=（b_n-）=（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-≠0
∴{b_n-a_n}是以b₁-为首项，以为公比的等比数列．
（Ⅱ）b_n-a_n=（b₁-）•a_n=，b_n=（b₁-）．
当n≥2时b_n-b_n-1=-（b₁-）
又b₁＜0，∴b_n-b_n-1＞0
∴{b_n}是单调递增数列．
（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，S_n取最小值．
∴
即，
∴b₁∈（-47，-11）．
点评：本题考查的是数列的递推公式问题．在解答的过程当中充分体现了运算的能力、函数的思想以及问题转化的能能力．值得同学们体会反思．