Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列   
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据S_n+1=4a_n+2，得到S_n=4a_n-1+3，两式相减得到a_n+1=4a_n-4a_n-1 ，再变形得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），令n=1求出a₂的值，由等比数列的定义得{a_n-2a_n-1}是以3为首项，2为公比的等比数列，即数列{b_n}是等比数列；
（2）先由（1）和等比数列的通项公式，求出数列{nb_n}的通项公式，再利用错位相减法求数列{nb_n}的前n项和T_n．
解答：解：（1）由题意知，S_n+1=4a_n+2   ①
∴S_n=4a_n-1+2 （n≥2）②
①-②：a_n+1=4a_n-4a_n-1
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
令n=1得，s₂=4a₁+2=a₁+a₂，解得a₂=5，
数列{a_n-2a_n-1}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴数列{b_n}是等比数列，
（2）由（1）得，b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴nb_n=3n•2^n-1
∴T_n=3[1×2+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1]③
∴2T_n=3[1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ]④
③-④：-T_n=3[1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ]
=3×-3n•2ⁿ=（3-3n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（3n-3）•2ⁿ+3．
点评：本题主要考查数列通项公式与前n项和之间的关系，等比数列的通项公式和前n项和公式，以及错位相减法求和，考查了计算能力．