题目内容
设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对任意实数x，恒有f(x)≤f(
)=4成立．
（1）求实数a和b的值；
（2）作出函数f（x）在区间（0，π）上的大致图象；
（3）若两相异实数x1、x2∈（0，π），且满足f（x1）=f（x2），求f（x1+x2）的值．
| π | 12 |
（1）求实数a和b的值；
（2）作出函数f（x）在区间（0，π）上的大致图象；
（3）若两相异实数x1、x2∈（0，π），且满足f（x1）=f（x2），求f（x1+x2）的值．
分析：（1）将f（x）=asinωx+bcosωx化为；f（x）=
sin（ωx+φ），由题意可得
，从而可求得a和b的值；
（2）由f（x）=4sin（2x+
）即可做出其大致图象；
（3）当0＜x1＜x2＜
时，x1+x2=
，当
＜x1＜x2＜π时，x1+x2=
，从而可求得f（x1+x2）的值．
| a2+b2 |
|
（2）由f（x）=4sin（2x+
| π |
| 3 |
（3）当0＜x1＜x2＜
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
解答：解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx=
sin（ωx+φ）（ω＞0），
又f（x）≤f（
）=4恒成立，
∴
=4，即a2+b2=16．…①（1分）
∵f（x）的最小正周期为π，
∴ω=
=2，（2分）
即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．
又f（x）max=f（
）=4，
∴asin
+bcos
=4，
即a+
b=8．…②（3分）
由①、②解得a=2，b=2
．（4分）
（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2
cos2x=4sin（2x+
）．（5分）
∵0＜x＜π，
∴
＜2x+
＜
，列表如下：（6分）
∴函数f（x）的图象如图所示：（8分）
（3）∵f（x1）=f（x2），由（2）知，
当0＜x1＜x2＜
时，x1+x2=2×
=
，（9分）
∴f（x1+x2）=f（
）=4sin
=2
；…（10分）
当
＜x1＜x2＜π时，x1+x2=2×
=
，（11分）
∴f（x1+x2）=f（
）=4sin
=2
；…（12分）．
综上，f（x1+x2）=2
．（13分）
| a2+b2 |
又f（x）≤f（
| π |
| 12 |
∴
| a2+b2 |
∵f（x）的最小正周期为π，
∴ω=
| 2π |
| T |
即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．
又f（x）max=f（
| π |
| 12 |
∴asin
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
即a+
| 3 |
由①、②解得a=2，b=2
| 3 |
（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0＜x＜π，
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
∴函数f（x）的图象如图所示：（8分）
（3）∵f（x1）=f（x2），由（2）知，
当0＜x1＜x2＜
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
∴f（x1+x2）=f（
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
当
| π |
| 6 |
| 7π |
| 12 |
| 7π |
| 6 |
∴f（x1+x2）=f（
| 7π |
| 6 |
| 8π |
| 3 |
| 3 |
综上，f（x1+x2）=2
| 3 |
点评：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考察两角和与差的正弦，突出五点作图法的考察与应用，综合性强，难度大．
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