Question

已知函数f(x)=2(cos2x+

3

sinxcosx)+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin（

π

6

+2x）+2，从而求出函数的最小正周期，再令2kπ-

π

2

≤

π

6

+2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的单调增区间．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求出

π

6

+2x的范围，可得sin（

π

6

+2x） 的范围，从而求得2sin（

π

6

+2x）+2的范围，即为所求．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=2(cos2x+

3

sinxcosx)+1=cos2x+

3

sin2x+2
=2sin（

π

6

+2x）+2，
故它的最小正周期等于

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤

π

6

+2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函数的单调增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，

π

6

+2x∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（

π

6

+2x）∈[-

1

2

，1]，
2sin（

π

6

+2x）+2∈[1，4]，
故函数的值域为[1，4]．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、周期性、定义域和值域，属于中档题．