Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．求异面直接PD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

，
由平面几何知识得：OD=1，PD=

3

，PB=

6

过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB
∴BC=

5

，AB=2

2

，CD=

2

又AB∥DC
∴四边形EBCD是平行四边形．
∴ED=BC=

5

，BE=CD=

2

∴E是AB的中点，且AE=

2

又PA=PB=

6

，
∴△PEA为直角三角形，
∴PE=

PA2-AE2

=

6-2

=2
在△PED中，由余弦定理得cos∠PDE=

PD2+DE2-PE2

2PD•DE

=

3+5-4

2• 3 • 5

=

2 15

15

故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为

2 15

15