Question

三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2

3

，VC=1，D为AB中点，则下列结论错误的是（　　）

• A．二面角V-AB-C为60°
• B．直线AB、VC所成的角为90°
• C．直线AC、VB所成的角为60°
• D．三棱锥V-ABC的体积为

  1

  2

Answer 1

分析：根据题意，证出∠CDV就是二面角V-AB-C的平面角，且△VCD是正三角形，得A项不错；根据线面垂直的判定定理证出AB⊥平面VCD，从而得到直线AB、VC所成的角为90°，故B项不错；利用中位线，结合异面直线所成角的定义证出AC、VB所成的角的余弦值等于

5

8

，说明直线AC、VB所成的角不是60°，故C项错误；根据锥体体积公式结合题中数据算出三棱锥V-ABC的体积为

1

2

，故D项也不错．由此得到本题答案．

解答：解：∵等腰△VAB与等腰△ABC有公共的底边AB，D为AB中点，
∴VD⊥AB且CD⊥AB，可得∠CDV就是二面角V-AB-C的平面角
∵VC=CD=VD=1，
∴△VCD是正三角形，得∠CDV=60°．故A不错；
∵VD⊥AB，CD⊥AB，VD、CD是平面VCD内的相交直线
∴AB⊥平面VCD，结合VC?平面VCD得AB⊥VC
即直线AB、VC所成的角为90°，故B不错；
取VC、BC的中点E、F，连结DE、DF、EF
可得∠DFE或其补角就是直线AC、VB所成的角
∵△DFE中，DE=EF=1，DE=

3

2

∴cos∠DFE=

1+1- 3 4

2×1×1

=

5

8

，可得∠DFE≠60°，故C项错误；
对于D，由前面的分析可得三棱锥V-ABC的体积为
V=

1

3

×S_△VCD×AB=

1

3

×

3

4

×2

3

=

1

2

，故D项不错
故选：C

点评：本题给出特殊三棱锥，求线面角、线线角、面面角并求锥体的体积．着重考查了二面角的定义与求法、异面直线所成角的定义和锥体体积公式等知识，属于中档题．