Question

（08年安徽皖南八校联考）（本小题满分14分）

如图所示，已知椭圆：（）的离心率为，为椭圆在轴正半轴上的焦点，、两点在椭圆上，且（），定点 (一4，0)，当＝1时，有．

（1）       求证：当＝1时，⊥；

（2）       求椭圆的方程．

（3）       当、两点在椭圆上运动时，试判断是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出这时、两点所在直线方程，若不存在，请说明理由．

 

 

Answer 1

解析：  （1）证明：设（，），（，），（，），，则（-，）

=（-，），当＝1时，，

∴=，+=2.…………………………………………………………………2分

    由、两点在椭圆上，∴ ，，∴.

    若，则（舍），∴，∴（0，），

（+4，）.

∵=0，∴⊥.…………………………………………………………4分

（注：由＝1，得是的中点，再利用椭圆对称性或由焦半径公式证明参照得分）

    （2）解：当＝1时，不妨设，，

    ∴.……………………………………………………………6分

    又，，∴.

    ∵，∴，椭圆的方程为. …………………………………8分

    （3）解：△=， ………………9分

    设直线的方程为，，联立 ，

得，∴.…………………10分

记，，则

，

∴当，当，即时取等号.

并且，当时，，

当不存在时. ………………………………………………13分

综上有最大值，最大值为.

此时，直线的方程为或 ……………………………14分