Question

已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足

lim

n→∞

bn=4．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₀）．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]=[a_n，b_n]，从而发现数列
{a_n}，{b_n}均为等差数列，易得其通项公式
（2）因为f（x）=kx+2（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，所以f（x）的值域为[ka_n-1+2，kb_n-1+2]
=[a_n，b_n]，所以b_n=kb_n-1+2（n≥2），再由极限的四则运算列方程可求出k
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调减函数，所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）则b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1），从而数列{b_n-a_n}为一个以1为首项，-k为公比的等比数列，进而得到此数列的前n项和Tn-Sn 公式，再求数列{Tn-Sn }的前n项和即可得所求解

解答：解：（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．
（2）因为f（x）=kx+m（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，则b_n=kb_n-1+2（n≥2）
假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足

lim

n→∞

bn=4，则

lim

n→∞

bn=k

lim

n→∞

bn-1+2，
得4=4k+2，则k=

1

2

符合．
故存在k=

1

2

，使

lim

n→∞

bn=4
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
则b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）
又b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=（-k）^n-1
∴Tn-Sn=

n                (k=-1)   1-(-k)n 1+k   (k＜0，k≠-1)

进而有(T1+T2+…+T2010)-(S1+S2+…+S2010)=

2021055，(k=-1) 2010+2011k-k2011 (1+k)2 ，(k＜0，k≠-1)

点评：本题综合考查了数列的通项公式，数列极限，数列求和等知识点，运算量较大，解题时要耐心细致，认真体会其中的思想方法