Question

已知二次函数y＝－x²＋2ax＋(a－2)在x∈［－1，2］上有最大值4，求实数a的值.

Answer 1

解析：该二次函数的图象开口向下，因而若x∈R，则y＝－(x－a)²＋a²＋a－2,即当x＝a时，y _max＝a²＋a－2,目前规定x∈［1,2］,解题时应分a∈［1,2］以及a＜1,a＞2三种情况讨论（三种情况中最大值的取值均不同）.

答案：y＝－x²＋2ax＋(a－2)＝―（x―a）²＋a²＋a－2,?

①若a∈［－1,2］,则当x＝a时，y _max＝a²＋a－2,由题意知a²＋a－2=4,而a²＋a－6＝0,a=-3或a＝2,

∵a∈［－1,2］,∴a＝2符合条件.?

②若a＜－1，∵二次函数y＝f(x)在［a,＋∞)上单调递减，即在［－1，2］上单调递减，∴当x＝－1时，y _max＝―1,―2a＋a－2＝―a―3,由―a―3＝4，得a＝－7(＜－1),?

∴a＝－7符合条件.

③若a＞2,则二次函数y＝f(x)在［－1,2］上单调递增，∴当x＝2时，y _max＝－4＋4a＋a－2＝5a―6.由5a―6＝4得a＝2(≯2),∴此时不存在符合条件的a,综上，符合条件的a的值为2或－7.