Question

已知圆M的方程为（x-2）²+y²=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）求

PA

•

PB

的最小值；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题可知MP=2，M（2，0），由此可求点P的坐标；
（2）利用向量的数量积公式，计算

PA

•

PB

，结合切线长公式，利用配方法，即可求得最小值；
（3）求得经过A，P，M三点的圆的方程，利用圆系方程，即可得到必过定点．

解答：（1）解：设P（m，2m），由题可知MP=2，M（2，0），所以（2m）²+（m-2）²=4，解之得m=0，m=

4

5

．
故所求点P的坐标为P（0，0）或（

4

5

，

8

5

）．  …（4分）
（2）解：设P（m，2m），则

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB．
又|

PA

|2=PM2-1，cos∠PAB=1-2sin2

∠PAB

2

=1-

2

PM2

，
∴

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB=(PM2-1)(1-

2

PM2

)=PM2+

2

PM2

-3．…（7分）
又PM2=(m-2)2+(2m)2=5m2-4m+4∈[

16

5

，+∞)，
∴

PA

•

PB

=|

PA

|2cos∠PAB=PM2+

2

PM2

-3=(PM-

2

PM

)2-1∈[

33

40

，+∞)，
故

PA

•

PB

的最小值

33

40

．                                  …（10分）
（3）证明：设P（m，2m），MP的中点Q(

m

2

+1，m)，
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为(x-

m

2

-1)2+(y-m)2=m2+(

m

2

-1)2，
化简得x²+y²-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）
故

x2+y2-2x=0 -x-2y+2=0

解得

x=2 y=0

或

x= 2 5 y= 4 5 .

所以经过A，P，M三点的圆必过定点（2，0）和(

2

5

，

4

5

)．         …（16分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．