Question

已知函数f(x)=sin2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线y=

1

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求数列{x_n}的前2n项的和．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)=sin2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1-cosx

2

+

3

2

sinx-

1

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx
=sin（x-

π

6

）．
由2kπ≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

 （k∈Z）
所以f（x）的单调递增区间是[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（Ⅱ）函数f（x）=sin（x-

π

6

）的图象向左平移

π

6

个单位后，得到函数y=sinx的图象，
即g（x）=sinx，
若函数g（x）=sinx（x＞0）的图象与直线y=

1

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，
则由正弦曲线的对称性，周期性得：

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，…，

x2n-1+x2n

2

=2（n-1）π+

π

2

，
所以x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n
=（x₁+x₂）+（x₃+x₄）+…+（x_2n-1+x_2n）
=π+5π+9π+…+（4n-3）π
=[n×1+

n(n-1)

2

×4]•π
=（2n²-n）π