Question

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（Ⅰ）当m＜2时，求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）当m=0时，求证：f（x）≥x²+x³．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先对函数f（x）求导数，并分解因式，然后分别令f'（x）＞0，f'（x）＜0求出函数的单调区间，注意条件m＜2，-m＞-2，从而判断出函数的极大值；
（Ⅱ）当m=0时，f（x）=x²•e^x，要证f（x）≥x²+x³，即证e^x≥1+x，构造函数g（x）=e^x-1-x，通过导数求出函数g（x）的单调区间，从而求出函数g（x）的极小值也为最小值0，从而g（x）≥0，原不等式成立．

解答：（Ⅰ）解：因为函数f（x）=（x²+mx+m）•e^x
所以导数f'（x）=（2x+m）•e^x+（x²+mx+m）•e^x=[x²+（2+m）x+2m]•e^x
=（x+2）（x+m）•e^x，
因为m＜2，所以-m＞-2，令f'（x）＞0得x＞-m，或x＜-2；f'（x）＜0得-2＜x＜-m．
所以函数f（x）在x=-2处取得极大值，且为f（-2）=（4-2m+m）•e^-2=（4-m）•e^-2．
故当m＜2时，函数f（x）的极大值为（4-m）•e^-2．------6分
（Ⅱ）证明：当m=0时，f（x）=x²e^x，
要证f（x）≥x²+x³?e^x≥1+x，
令g（x）=e^x-1-x，则导数g‘（x）=e^x-1，
令g’（x）＞0得x＞0；g‘（x）＜0得x＜0；
所以g（x）在x=0处取得极小值且为0，此时g（x）也取得最小值0，
即g（x）≥0⇒e^x≥1+x，从而f（x）≥x²+x³．
故当m=0时，f（x）≥x²+x³恒成立．-------12分

点评：本题主要考查导数的应用：求函数的极值和最值．注意运用这个结论：函数在开区间内有且只有一个极值，这个也就是最值．同时注意构造函数证明不等式．本题属于中档题．