Question

（本小题满分13分）已知函数f (x) =

    （1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；

    （2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y轴，数列{}满足

．

①若a1≥3，求证：an≥n + 2；

②若a1 = 4，试比较的大小，并说明你的理由．

 

Answer 1

【答案】

①a≥1或a≤0．②<

【解析】（1）∵f (1) = a – b = 0，∴a = b，∴f′(x) = ．要使函数f (x)在其定义域内为单调函数，则 (0，+∞)内(x) = 恒大于等于零，或恒小于等于零．

  由得而    由得  而    经验证a=0及a=1均合题意，故

∴所求实数a的取值范围为a≥1或a≤0．               ………………………5分

（2）∵函数f (x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，∴f′(1) = 0，即a + a – 2 = 0，解得a = 1，∴f′(x) = ，∴an + 1 = f′……7分

①用数学归纳法证明：（i）当n = 1时，a1≥3 = 1 + 2，不等式成立；（ii）假设当n = k时不等式成立，即那么ak – k≥2＞0，∴ak + 1 = ak (ak – k) + 1≥2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2＞k + 3，也就是说，当n = k + 1时，ak + 1≥(k + 1) + 2．根据（i）和（ii），对于所有n≥1，有an≥n + 2．               ……………………………………10分

②由an + 1 = an (an – n) + 1及①，对k≥2，有ak = ak – 1 (ak–1 – k + 1) + 1≥ak –1 (k – 1 + 2 – k + 1) + 1 = 2ak–1 + 1，∴ak + 1≥2 (ak–1 + 1)≥22 (ak – 2 + 1)≥23 (ak –3 + 1)≥…≥2k–1 (a1 + 1)而，于是当k≥2时，

    …………………………13分