Question

棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，在棱DD₁上是否存在点P使B₁D⊥面PAC？

Answer 1

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，使

AP

与

DB1

垂直，

AP

与

AC

垂直，求出点P的坐标即可．

解答：解：以D为原点建立如图所示的坐标系，
设存在点P（0，0，z），

AP

=（-a，0，z），

AC

=（-a，a，0），

DB1

=（a，a，a），
∵B₁D⊥面PAC，∴

DB1

•

AP

=0，

DB1

•

AC

=0．∴-a²+az=0．
∴z=a，即点P与D₁重合．
∴点P与D₁重合时，DB₁⊥面PAC．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，还考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．