Question

等比数列{c_n}满足cn+1+cn=10•4n-1，n∈N^*，数列{a_n}满足cn=2an
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．求

lim

n→∞

Tn；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=c₁q+c₂q=40，
所以公比q=4（2分）
∴c₁+4c₁=10
∴c₁=2（3分）
由等比数列的通项公式可得，cn=2•4n-1=22n-1（4分）
∵cn=2an=2^2n-1
∴a_n=2n-1（15分）
（2）∵bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

∴bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（6分）
于是Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

（8分）
∴

lim

n→∞

Tn=

1

2

（10分）
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，
则(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，（12分）
可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
由分子为正，解得1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
由m∈N^*，m＞1，得m=2，此时n=12，
当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列．             （16分）
说明：只有结论，m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列．若学生没有说明理由，则只能得 13分