Question

建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米1百元，池底的造价为每平方米3百元，设总造价为y（百元），底面一边长为x（米）．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求出总造价y的最小值．

Answer 1

分析：1）mh 无盖长方体蓄水池容积为8立方米，深为2米，底面一边长为x米，知底面另一边长为

8

2x

=

4

x

米，底面积为

8

2

=4平方米，从而求出池壁的面积为2×2x+2×2×

4

x

（平方米），再由池壁的造价为每平方米1百元，池底的造价为每平方米3百元，能求出总造价．
（2）由y=4x+

16

x

+12=4(x+

4

x

)+12，知y′=4-

16

x2

，令y′=4-

16

x2

=0，得x=2，或x=-2（舍），由y=4x+

16

x

+12在（0，2]上递减，在[2，+∞）上递增，知x=2时，y有最小值，由此能出总造价y的最小值．

解答：解：（1）∵无盖长方体蓄水池容积为8立方米，深为2米，底面一边长为x米，
∴底面另一边长为

8

2x

=

4

x

米，底面积为

8

2

=4平方米，
∴池壁的面积为2×2x+2×2×

4

x

（平方米），
∵池壁的造价为每平方米1百元，池底的造价为每平方米3百元，
∴总造价y=(2×2x+2×2×

4

x

)×1+

8

2

×3=4x+

16

x

+12（x＞0）
（2）y=4x+

16

x

+12=4(x+

4

x

)+12，
y′=4-

16

x2

，
令y′=4-

16

x2

=0，得x=2，或x=-2（舍）
∵x＞0，在（0，2]上，y′=4-

16

x2

＞0，在[2，+∞）上，y′=4-

16

x2

＜0，
∴y=4x+

16

x

+12在（0，2]上递减，在[2，+∞）上递增
∴x=2时，y有最小值4×(2+

4

2

)+12=28．

点评：本题考查函数解析式的求法和求函数值的最小值，解题时要认真审题，仔细寻找数量间的相互关系，合理地建立方程，利用导数求解函数值．