题目内容
【题目】已知椭圆
的左右焦点分别为
，
是椭圆短轴的一个顶点，且
是面积为
的等腰直角三角形.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知直线
：
与椭圆交于不同的
，
两点，若椭圆上存在点
，使得四边形
恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据等腰直角三角形可得
，然后写出椭圆
的标准方程；
（2）由题意可设
，
，联立
，根据韦达定理和四边形
恰好为平行四边形可得点
的坐标，将其代入椭圆方程可得
，再利用面积公式和基本不等式可得最小值.
（1）由已知得
，设
.
是面积为1的等腰直角三角形，
∴椭圆E的方程为
（2）由题意可设，.
联立整理得
，则
.
根据韦达定理得
因为四边形恰好为平行四边形，所以
.
所以
，
因为点P在椭圆C上，所以
，
整理得
，即
在直线l：
中，由于直线
与坐标轴围成三角形，则
，
.
令
，得
，令
，得
.
所以三角形面积为
当且仅当
，
时，取等号，此时
.
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为.
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