Question

21.如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

21.本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力.

解法一：（Ⅰ）∵平面ACE.   

∴二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.

 

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，

∵面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B—AC—E的平面角.

由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，又∵，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又∵直角

，

∴二面角B—AC—E等于

（Ⅲ）过点E作交AB于点O，OE=1.

∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

∵

∵AE⊥平面BCE，

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.

∵AE⊥面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

 

设平面AEC的一个法向量为=（x，y，z），

解得

令得=（1，-1，1）是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为=（1，0，0），

∴二面角B—AC—E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴=（0，0，2），

∴点D到平面ACE的距离