题目内容
已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为分析：由题意，设直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y2=4x，再结合弦长公式|AB|=
|x1-x2|表示出|AB|，把弦长用引入的参数表示出来，再由中点的横坐标为2，研究出参数k，b的关系，使得弦长公式中只有一个参数，再根据其形式判断即可得出最值
| 1+k2 |
解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，令直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y2=4x得k2x2+2（kb-2）x+b2=0
故有x1+x2=
，x1x2=
故有
=4，解得b=
，即x1x2=
=
又|AB|=
|x1-x2|=
=
=4
=4×
≤4×
=6
故|AB|的最大值为6
故有x1+x2=
| -2(kb-2) |
| k2 |
| b2 |
| k2 |
故有
| -2(kb-2) |
| k2 |
| 2-2k2 |
| k |
| b2 |
| k2 |
| 4-8k2+4k4 |
| k4 |
又|AB|=
| 1+k2 |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| 1+k2 |
16-4×
|
| 1+k2 |
|
2+[-(
|
|
故|AB|的最大值为6
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是用弦垂公式表示出弦长，再结合题设中所给的条件将弦长表示成某个量的函数，利用求最值的方法求出最值．本题比较抽象，难点在二把弦长用参数表示出来之间，需要做大量的运算，做题时要有耐心，平时要注意提高符号运算能力．
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