Question

若在区间[-1，1]上，函数f（x）=x³-ax+1≥0恒成立，则a的取值范围是

[0，

3 3 2

2

]

．

Answer 1

分析：由x³-ax+1≥0恒成立，得ax≤x³+1，再对x的取值进行分类讨论，转化为函数F（x）=x2+

1

x

的最值问题，注意导数工具的运用，列出关于字母a的不等式达到求解本题的目的．

解答：解：由x³-ax+1≥0恒成立，得ax≤x³+1，
①当x∈（0，1]时，
即a≤x2+

1

x

，x∈（0，1]恒成立，
设F（x）=x2+

1

x

，F′（x）=2x-

1

x2

，令F′（x）=0得x=

3	1 2

，
当x∈（0，

3	1 2

]时F′（x）＜0，当x∈（

3	1 2

，1]时F′（x）＞0，
故f（x）在（0，

3	1 2

]单调减，f（x）在（

3	1 2

，1]单调增，
∴当x=

3	1 2

时，函数f（x） 取得最小值，最小值为

3 3 2

2

；
∴a≤

3 3 2

2

②当x∈[-1，0）时，
即a≥x2+

1

x

，x∈[-1，0）恒成立，
设F（x）=x2+

1

x

，F′（x）=2x-

1

x2

，
当x∈[-1，0）时F′（x）＜0，
故f（x）在[-1，0）单调减，
∴当x=-1时，函数f（x） 取得最大值，最大值为0；
∴a≥0；
③当x=0时，函数f（x）=x³-ax+1≥0恒成立
综上所述，a的取值范围是[0，

3 3 2

2

]．
故答案为：[0，

3 3 2

2

]．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，解答的关键是将问题转化为函数的最值问题．