Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（I）若A，B两点的纵会标分别为

4

5

，

12

13

，求cos(β-α)的值；
（II）已知点C是单位圆上的一点，且

OC

=

OA

+

OB

，求

OA

和

OB

的夹角θ．

Answer 1

分析：（I）根据三角函数的定义，求得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．由α是锐角、β为钝角可得cosα、cosβ的值，利用两角和与差的余弦公式求得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα的值．
（II）由题意可得|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=1，设

OA

和

OB

的夹角为θ，0≤θ≤π，则有

OC

2=(

OA

+

OB

)2．求出

OA

•

OB

 的值，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ，可得θ的值．

解答：解：（I）根据三角函数的定义，得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．由α是锐角，所以，cosα=

3

5

．
由β为钝角可得 cosβ=-

5

13

．
所以，cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=（-

5

13

）×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（II）已知点C是单位圆上的一点，且

OC

=

OA

+

OB

，|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=1，
设

OA

和

OB

的夹角为θ，0≤θ≤π，则有

OC

2=(

OA

+

OB

)2．
展开化简可得

OA

•

OB

=-

1

2

．
可得cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

- 1 2

1×1

=-

1

2

，从而可得 θ=

2π

3

．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，平面向量数量积的定义，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的余弦函数，考查计算能力，是中档题．