Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（3）在平面PAD内是否存在一点G，使G在平面PCB上的射影为△PCB的外心，若存在，试确定点G的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：先以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，
（1）写出直线EF的方向向量和CD的方向向量，求两个向量的数量积，由数量积为0，即可证明两直线垂直；
（2）先求平面DEF的法向量，再求斜线DB的方向向量，最后求这两个向量的夹角的余弦值，此值的绝对值即为所求线面角的正弦值；
（3）先证明点F即为△PCB的外心，从而将问题转化为在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB，设G（m，0，n），利用线面垂直的定义，列方程即可解得m、n的值，从而判断G的位置

解答：解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设PD=DC=1
则D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、E(1，

1

2

，0)、F(

1

2

，

1

2

，

1

2

)、P（0，0，1）．
（1）∵

EF

=(-

1

2

，0，

1

2

)，

DC

=(0，1，0)
∴

EF

•

DC

=0
∴EF⊥CD
（2）设平面DEF的法向量为

n

=(x，y，z)．
由

n • DF =0 n • DE =0

得

(x，y，z)•( 1 2 1 2 1 2 )=0 (x，y，z)•(1 1 2 ，0)=0

即

1 2 (x+y+z)=0 x+ 1 2 y=0.

令x=1，则y=-2，z=1．
∴

n

=(1，-2，1)，又

DB

=（1，1，0）
设DB与平面DEF所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

DB

，

n

＞|=

| n • DB |

| n || DB |

=

|1-2|

6 × 2

=

3

6

（3）∵△PCB为直角三角形，C=90°，∴G在平面PCB上的射影为△PCB的外心即为PB中点F，
G在平面PCB上的射影为△PCB的外心即GF⊥平面PCB
设G（m，0，n），则G∈平面PAD．
∴

FG

=(m-

1

2

，-

1

2

，n-

1

2

)．又

CB

=（1，0，0），

CP

=（0，-1，1）
由

FG

•

CB

=0，得m=

1

2

．由

FG

•

CP

=0，得n=0．
∴G点坐标为(

1

2

，0，0)，
即G为AD中点时，GF⊥平面PCB
∴存在一点G为AD中点时，使G在平面PCB上的射影为△PCB的外心

点评：本题主要考查了线面垂直的判定和性质，直线与平面所成角的求法，空间直角坐标系和空间向量在解决立体几何问题中的应用，有一定的难度