Question

已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）证明E，F，G，H四点共面；
（2）证明BD∥平面EFGH．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量加法法则得=（+），从而得到=+=+（+），结合F是BC中点、EH是△ABD的中位线，可得=+，从而得到得、、是共面的向量，由此可得E、F、G、H四点共面；
（2）根据向量加法的三角形法则，结合三角形中位线定理得到=2+2，从而向量与，共面．再由BD是平面EFGH的殊一条直线，可得BD∥平面EFGH．
解答：解：如图，连结EG，BG．
（1）∵BG是△BCD的中线，可得=（+）
∴=+=+（+）
∵=，=
∴=++=+，
根据向量共面的充要条件，得
可得E，F，G，H四点共面．
（2）∵=+，=+
∴=+=2+2=2=2（+）=2+2，
结合，不共线，可得与，共面．
又∵BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH．
点评：本题采用向量的线性运算的方法证明四点共面和线面平行．着重考查了三角形中位线定理、向量的加减法法则等知识，考查了向量共面与线面平行的关系，属于中档题．