题目内容
在正方体AC1中,已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明:
(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)A1G⊥平面EFD.
(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)A1G⊥平面EFD.
分析:(1)以A为原点建立空间直角坐标系,用坐标表示向量,证明
=2
,
•
=0,即可得到结论;
(2)证明
•
=0,
•
=0,即可得到结论.
AB1 |
GE |
AB1 |
EH |
(2)证明
A1G |
DF |
A1G |
DE |
解答:证明:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0),D(0,1,0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(1,1,1)、D1(0,1,1),
由中点性质得E(1,1,
)、F(1,
,0),G(
,1,0)、H(
,
,1).
(1)则
=(1,0,1),
=(
,0,
),
=(-
,-
,
)
∵
=2
,
•
=1×(-
)+1×
=0,
∴
∥
,
⊥
.
即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)∵
=(
,1,-1),
=(1,-
,0),
=(1,0,
),
∴
•
=
-
+0=0,
•
=
+0-
=0,
∴A1G⊥DF,A1G⊥DE.
又DF∩DE=D,
∴A1G⊥平面EFD.
由中点性质得E(1,1,
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(1)则
AB1 |
GE |
1 |
2 |
1 |
2 |
EH |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵
AB1 |
GE |
AB1 |
EH |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
AB1 |
GE |
AB1 |
EH |
即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)∵
A1G |
1 |
2 |
DF |
1 |
2 |
DE |
1 |
2 |
∴
A1G |
DF |
1 |
2 |
1 |
2 |
A1G |
DE |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴A1G⊥DF,A1G⊥DE.
又DF∩DE=D,
∴A1G⊥平面EFD.
点评:本题考查向量知识的运用,考查线面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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