Question

8．已知f（x）是定义在R上的函数，对任意的x、y∈R，都有f（x）f（y）=2f（x+y），且当x＞0时，f（x）＞2．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）＞0对任意x∈R恒成立；
（3）解关于θ的不等式f（tanθ）≤2．

Answer 1

分析 （1）令x=1，y=0，从而可求得f（0）=2；
（2）由题意知当x≥0时，f（x）≥2＞0；再令x＜0，则-x＞0；从而可得f（x）f（-x）=2f（0）；从而证明．
（3）由（2）中的讨论可知f（tanθ）≤2可化为f（tanθ）≤f（0），即tanθ≤0；从而解得．

解答 解：（1）令x=1，y=0，
则f（1）f（0）=2f（1），
∵f（1）＞2，
∴f（0）=2；
（2）证明：当x≥0时，f（x）≥2＞0；
当x＜0时，-x＞0；
f（x）f（-x）=2f（0）；
故f（x）=$\frac{2f（0）}{f（-x）}$＞0；
故f（x）＞0对任意x∈R恒成立；
（3）∵当x≥0时，f（x）≥2＞0；
∴当x＜0时，f（x）=$\frac{2f（0）}{f（-x）}$=$\frac{4}{f（-x）}$＜2；
∴f（tanθ）≤2可化为f（tanθ）≤f（0）；
故tanθ≤0；
故θ∈（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+π]，（k∈Z）．

点评 本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，同时考查了正切函数的性质的应用．