Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1(n=1，2，3，…)．数列{b_n}满足条件：

b₁=3，b_k+1=a_k+b_k(k=1，2，3，…)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

解：(1)当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1a₁=1．

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-(2a_n-1-1)a_n=2a_n-1，

所以{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，因此a_n=2^n-1(n≥1)． 

(2)由题意b₁=3，b_k+1-b_k=a_k=2^k-1，故b_n=3+2⁰+2¹+2²+…+2^n-2=2^n-1+2

因此，数列{b_n}的前n项和为S=b₁+b₂+…+b_n=2⁰+2¹+…+2^n-1+2n=2ⁿ-1+2n.