Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，G是PD的中点，E是AB的中点
（1）求证：GA⊥面PCD；
（2）求证：GA∥面PCE；
（3）求点G到面PCE的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证GA⊥面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AG与平面PCD内两相交直线垂直，根据CD⊥AD，CD⊥PA，可证得CD⊥平面PAD，从而CD⊥AG，又PD⊥AG满足线面垂直的判定定理条件；
（2）欲证GA∥面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AG与平面PEC内一直线平行，作EF⊥PC于F，根据面面垂直的性质可知EF⊥平面PCD，而AG⊥平面PCD，则EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，满足定理所需条件；
（3）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等先求出V_P-AEC的体积，再根据V_P-AEC=V_A-PEC建立等式关系，从而求出G点到平面PEC的距离．

解答：解：（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG，∴GA⊥面PCD
（2）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，
∴GA∥面PCE
（3）由GA∥面PCE知A、G两点到平面PEC的距离相等
由（2）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF，∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF
PA=AB=1，G为PD中点，FG

∥ .

.

1

2

CD
∴FG=

1

2

∴AE=FG=

1

2

（9分）
∴VP-AEC=

1

3

(

1

2

•

1

2

•1)•1=

1

12

又EF⊥PC，EF=AG=

2

2

∴S△EPC=

1

2

PC•EF=

1

2

•

3

•

2

2

= 

6

4

又V_P-AEC=V_A-PEC，∴

1

3

S△EPC•h=

1

12

，即

6

12

h=

1

12

，∴h=

6

6

∴G点到平面PEC的距离为

6

6

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定和点到平面的距离的度量，同时考查了空间想象能力、运算求解能力、推理论证的能力，属于中档题．