Question

设函数f(x)=

2x-1

2x+1

(x∈R)，g(x)=x+

4

x

-

29

9

（x∈（0，2]）
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数，g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数；
（Ⅱ）若f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 对任意的x∈R，求得f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．设0＜x₁＜x₂≤2，求得g(x1)-g(x2)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

＞0，可得g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数．
（Ⅱ）由题意可得f（m）＜g_min（x），即

2m-1

2m+1

＜g(2)=

7

9

，整理得2^m＜8，解指数不等式求得实数m的取值范围

解答：（Ⅰ） 证明：x∈R，f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，所以f（x）是奇函数．…（3分）
?x₁，x₂∈（0，2]，当0＜x₁＜x₂≤2，g(x1)-g(x2)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，∴

x1x2-4

x1x2

＜0，
∴g(x1)-g(x2)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

＞0，故有g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数．…（8分）
（Ⅱ）f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，只需f（m）＜g_min（x），即

2m-1

2m+1

＜g(2)=

7

9

，
∵2^m+1＞0，
∴整理得2^m＜8，可得 m＜3，即实数m的取值范围为（-∞，3）．…（13分）

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的奇偶性的判断方法，函数的恒成立问题，属于基础题．