题目内容

对于数列{an},定义{Δan}为数列{an}的一阶差分数列,其中Δan=an+1-an(n∈N*).

(1)若数列{an}的通项公式an=n2-n(n∈N*),求{Δan}的通项公式;

(2)若数列{an}的首项是1,且满足Δan-an=2n,

①证明数列{}为等差数列;

②求{an}的前n项和Sn.

答案：(1)解:依题意Δan=an+1-an,∴Δan=[(n+1)2(n+1)]-(n2n)=5n-4.

(2)①证明:由Δan-an=2n得an+1-an-an=2n,即an+1=2an+2n,∴即.

a1=1,=,∴{}是以为首项,为公差的等差数列.

②解:由①得=+(n-1)=,∴an=·2n=n·2n-1,∴Sn=a1+a2+…+an=1·20+2·21+…+n·2n-1,①

∴2Sn=1·21+2·22+…+n·2n.②

①-②得-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n.∴Sn=n·2n-2n+1=(n-1)2n+1.

练习册系列答案
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已知函数f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-
16
[g(a)-27]，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．
已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
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3
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1
a-1
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（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
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1
6
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