Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，B，C成等差数列，△ABC的面积为

3

，
（1）求证：a，2，c，成等比数列；
（2）求△ABC的周长L的最小值，并说明此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及三角形内角和定理求出B的度数，根据三角形面积公式列出关系式，将sinB及已知面积代入求出ac的值为4，即可得证；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosB及ac的值代入，并利用基本不等式求出b的最小值，表示出周长，即可求出三角形ABC周长最小时三角形的形状．

解答：解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，
又△ABC的面积为

3

，
∴

1

2

acsin60°=

3

，即ac=4，
∵ac=2²，
∴a、2、c成等比数列；
（2）在△ABC中，根据余弦定理，得b²=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，
∴b≥2，当且仅当a=c时，等号成立，
∴△ABC的周长L=a+b+c≥2

ac

+b=4+b，当且仅当a=c时，等号成立，
∴L≥4+2=6，当且仅当a=c时，等号成立，
∴△ABC周长的最小值为6，
∵a=c，B=60°，
∴此时△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了三角形形状的判断，等差熟练的性质，以及等比关系的确定，熟练性质是解本题的关键．