Question

（本题满分12分）已知圆C：（为参数，∈R）．O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线l，设切点为M．（1）若点P运动到(1，3)处，求此时切线l的方程；（2）求满足条件的点P的轨迹方程．

Answer 1

(Ⅰ)  x=1或3x+4y-15=0  (Ⅱ)  2x-4y+1=0． 

解析:

把圆C的方程化为标准方程为(x+1)²+(y-2)²=4，

∴ 圆心为(-1，2)，半径为2．…………2分

（1）当l的斜率不存在时，此时l的方程为x=1，满足条件．……………4分

当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y-3=k(x-1)，即kx-y+3-k=0，

∵ ，解得  ．∴ l的方程为3x+4y-15=0．

综上，满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0． …………………7分

（2）设P(x，y)，∵ |PM|²=|PC|²-|MC|²=(x+1)²+(y-2)²-4，|PO|²=x²+y²，

∴ 由|PM|=|PO|有(x+1)²+(y-2)²-4=x²+y²，整理得2x-4y+1=0，

即点P的轨迹方程为2x-4y+1=0．  ……12分