Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB∥CD，AB=AD=1，D₁D=CD=2，AB⊥AD．
（I）求证：BC⊥面D₁DB；
（II）求D₁B与平面D₁DCC₁所成角的大小；
（III）在BB₁上是否存在一点F，使F到平面D₁BC的距离为，若存在，则指出该点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）要证BC⊥面D₁DB，只需证明直线BC垂直面D₁DB内的两条相交直线D₁D、DB即可；
（II）取DC中点E，连接BE，D₁E．说明∠BD₁E为所求角，然后求D₁B与平面D₁DCC₁所成角的大小；
（III）在BB₁上是存在一点F，使F到平面D₁BC的距离为，设BF=x，利用求出x的值，即可．
解答：解：（ I）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴D₁D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D₁D．
∵AB∥CD，AB⊥AD．
∴四边形ABCD为直角梯形，
又∵AB=AD=1，CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D₁D∩DB=D，
∴BC⊥平面D₁DB．（4分）
（II）取DC中点E，连接BE，D₁E．
∵DB=BC，
∴BE⊥CD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
∴ABCD⊥D₁DCC₁．
∴BE⊥D₁DCC₁．
∴D₁E为D₁B在平面D₁DCC₁上的射影，
∴∠BD₁E为所求角．
在Rt△D₁BE中，．．
∴所求角为．（9分）
（Ⅲ）假设B₁B存在点F，设BF=x，
∵，BC⊥平面D₁BF，
∴．
∵，
∴．
又，
∴．
即存在点F为B₁B的中点．（14分）
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角等知识，考查学生发现问题解决问题的能力，逻辑思维能力，是中档题．