Question

解不等式|x-1|+|x+2|＜5.

Answer 1

思路解析：令x-1=0，x+2=0，分别得x=1，x=-2，于是-2和1把数轴分成三段：x＜-2、-2≤x≤1和x＞1.在每一段上分别去掉绝对值符号，然后解不等式.

解法一：令|x-1|=0得x=1，

令|x+2|=0得x=-2，则-2，1将实数分为三部分：x＜-2，-2≤x≤1，x＞1.

当x＜-2时，原不等式可化为-x+1-x-2＜5,

即

解得-3＜x＜-2；

当-2≤x≤1时，原不等式化为-x+1+x+2＜5，即3＜5，恒成立，故-2≤x≤1也适合原不等式;

当x＞1时，原不等式化为x-1+x+2＜5，解得x＜2，∴1＜x＜2也适合原不等式.

综上所述，原不等式的解集为｛x|-3＜x＜2｝.

解法二：如图

由绝对值的几何意义，|x-1|表示数轴上对应x的点与1对应的点之间的距离，|x+2|表示数轴上对应x的点与-2对应的点之间的距离.由图可知

当x=-3时，|x-1|+|x+2|=5.

当x=2时，|x-1|+|x+2|=5.

利用数轴进一步观察分析，

x＞2时，不等式不成立；

x＜-3时，不等式也不成立.

这两种情况下，|x-1|+|x+2|均大于5.

只有当-3＜x＜2时，|x-1|+|x+2|＜5成立.

∴原不等式的解集为｛x|-3＜x＜2｝.

方法点拨

解这类绝对值符号里是一次式的不等式，大体说来有五种方法：（1）讨论法（如解法一）；（2）几何意义法（如解法二）；（3）函数法；（4）图象法；（5）平方法.通常用前两种方法.