Question

14、（1）求多项式（3x⁴-x³-2x-3）¹⁰²•（3x-5）⁴•（7x³-5x-1）⁶⁷展开式各项系数和．
（2）多项式x¹⁰⁰⁰-x•（-x³-2x²+2）¹⁰⁰⁰展开式中x的偶次幂各项系数和与x奇次幂各项系数和各是多少？

Answer 1

分析：（1）利用赋值法：令多项式中的x=1得各项系数和，
（2）利用赋值法：令多项式中的x分别取1，-1得两个等式，两等式相加、相减得展开式中x的偶次幂各项系数和与x奇次幂各项系数和．

解答：解：（1）设f（x）=（3x⁴-x³-2x-3）¹⁰²•（3x-5）⁴•（7x³-5x-1）⁶⁷
=a₀+a₁x+a₂x²++a_nxⁿ（n∈N），
其各项系数和为a₀+a₁+a₂++a_n．
又∵f（1）=a₀+a₁+a₂++a_n=
（3-1-2-3）¹⁰²•（3-5）⁴•（7-5-1）⁶⁷=16•3¹⁰²，
∴各项系数和为16•3¹⁰²．
（2）设f（x）=x¹⁰⁰⁰-x•（-x³-2x²+2）¹⁰⁰⁰
=a₀+a₁x++a₃₀₀₁x³⁰⁰¹，
∴f（1）=a₀+a₁+a₂++a₃₀₀₁=0，
f（-1）=a₀-a₁+a₂--a₃₀₀₁=2，
故a₁+a₃++a₃₀₀₁=-1，
a₀+a₂++a₃₀₀₀=1，
∴f（x）展开式中x的偶次幂各项系数和为1，x奇次幂各项系数和为-1．

点评：本题考查赋值法是求多项式展开式的系数和的方法．