Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n,且a₁=1,S_n=n²a_n(n∈N^*).

       (1)试求出S₁、S₂、S₃、S₄,猜想S_n的表达式;

       (2)证明你的猜想,并求出a_n的表达式.

      

Answer 1

解析:(1)易得S₁=,S₂=,S₃==,S₄=.猜想S_n=.?

       (2)①当n=1时,S₁==,猜想成立.?

       ②假设n=k+1时,S_k=,则当n=k+1时,S_k+1=(k+1)²a_k+1=(k+1)²(S_k+1-S_k),?

       ∴S_k+1=·S_k=·=.?

       这表明n=k+1时猜想成立.?

       根据①②可知n∈N^*,S_n=,a_n==.