Question

已知函数f(x)=(log2x)2-2log

1

2

x+1，g(x)=x2-ax+1
（1）求函数y=f(cos(x-

π

3

))的定义域；
（2）若存在a∈R，对任意x1∈[

1

8

，2]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要使原函数有意义，须使cos(x-

π

3

)＞0，解出即可；
（2）先求出函数f（x）在[

1

8

，2]上的值域，由题意该值域为函数g（x）在[-1，2]上值域的子集，按g（x）图象的对称轴在[-1，2]的左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，结合图象可得端点处函数值g（-1）、g（2）的限制条件，得不等式组，分别解出，最后求并集即可；

解答：解：（1）由cos(x-

π

3

)＞0，解得2kπ-

π

2

＜x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，解得2kπ-

π

6

＜x＜2kπ+

5π

6

，k∈Z，
所以函数的定义域为：{x|2kπ-

π

6

＜x＜2kπ+

5π

6

(k∈Z)}；
（2）首先，f(x)=(log2x)2+2log2x+1=(1+log2x)2，
∵x∈[

1

8

，2]，∴-3≤log₂x≤1，∴函数f（x）的值域为[0，4]，
其次，由题意知：[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀）．以下分三种情况讨论：
①当

a

2

≤-1时，则

g(-1)=a+2≤0 g(2)=5-2a≥4

，解得a≤-2；
②当

a

2

≥2时，则

g(-1)=a+2≥4 g(2)=5-2a≤0

，解得a≥4；
③当-1＜

a

2

＜2时，则

△＞0 g(-1)=a+2≥4 g(2)=5-2a＜0

或

△＞0 g(-1)=a+2＜0 g(2)=5-2a≥4

，解得

5

2

＜a＜4；
综上：a≤-2或a＞

5

2

．

点评：本题考查函数的定义域及二次函数的性质，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，解决（2）问的关键是正确理解条件并进行合理转化．