题目内容
已知点Pn（an，bn）（n∈N）满足an+1=anbn+1，bn+1=
，且点P1的坐标为（1，-1）．
（Ⅰ）求经过点P1，P2的直线l的方程；
（Ⅱ） 已知点Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2两点确定的直线l上，求数列{an}通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N，能使不等式（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥k
成立的最大实数k的值．
| bn | ||
1-4
|
（Ⅰ）求经过点P1，P2的直线l的方程；
（Ⅱ） 已知点Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2两点确定的直线l上，求数列{an}通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N，能使不等式（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥k
|
分析：（Ⅰ）先求出a2 和b2 的值，即可得到P2 的坐标，用两点式求得过点P1，P2的直线l的方程．
（Ⅱ）把已知点Pn的坐标代入直线l的方程可得 2an+bn=1，化简可得
-
=2，故{
}是公差等于2的等差数列，由此求得数列{an}通项公式．
（Ⅲ）由上可得 bn=1-2an=
．依题意 k≤（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
恒成立．设F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
，利用单调性求得F（n）min=F（1），故 k≤F（1），运算求得结果．
（Ⅱ）把已知点Pn的坐标代入直线l的方程可得 2an+bn=1，化简可得
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
（Ⅲ）由上可得 bn=1-2an=
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| b2b3…bn+1 |
| b2b3…bn+1 |
解答：解：（Ⅰ）因为 b2=
=
，所以a2=a1b2=
．所以P2（
，
）．
所以过点P1，P2的直线l的方程为 2x+y=1．
（Ⅱ）∵已知点Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2两点确定的直线l上，
∴2an+bn=1．
由an+1=anbn+1 可得 an+1=an（1-2an+1），
∴
=
，即
-
=2，故{
}是公差等于2的等差数列．
所以
=1+2（n-1）=2n-1，所以an=
．
（Ⅲ）由上可得 bn=1-2an=
．依题意 k≤（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
恒成立．
设F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
，所以只需求满足 k≤F（n）的F（n）的最小值．
∵
=
=（1+an+1）
=
=
＞1，
所以F（n） （x∈N*）为增函数．
所以F（n）min=F（1）=
=
．
所以 k≤
．
所以kmax=
．
| b1 |
| 1-4a12 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以过点P1，P2的直线l的方程为 2x+y=1．
（Ⅱ）∵已知点Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2两点确定的直线l上，
∴2an+bn=1．
由an+1=anbn+1 可得 an+1=an（1-2an+1），
∴
| 1 |
| an |
| 1-2an+1 |
| an+1 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
所以
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2n-1 |
（Ⅲ）由上可得 bn=1-2an=
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| b2b3…bn+1 |
设F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）
| b2b3…bn+1 |
∵
| F(n+1) |
| F(n) |
(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an+1)
| ||
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
|
| bn+2 |
| 2n+2 | ||||
|
|
所以F（n） （x∈N*）为增函数．
所以F（n）min=F（1）=
| 2 | ||
|
2
| ||
| 3 |
所以 k≤
2
| ||
| 3 |
所以kmax=
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查等差关系的确定，数列与不等式的综合，数列的函数特性，函数的恒成立问题，属于难题．
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