题目内容
设圆x2+（y-1）2=1的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为
．
3+
| ||
| 2 |
3+
| ||
| 2 |
分析：设直线l在x轴与y轴上的截距分别为a、b，得到直线l的截距式．根据l与已知圆相切利用点到直线的距离公式，建立关于a、b的等式，化简得出a2=
，由此算出AB2=
+b2．设F（b）=
+b2，利用导数研究F（b）的单调性，得出当b=
时F（b）=AB2有最小值，由此即可得到答案．
| b |
| b-2 |
| b |
| b-2 |
| b |
| b-2 |
3+
| ||
| 2 |
解答：解：设直线l与坐标轴的交点分别为A（a，0），B（0，b），可得a＞1且b＞2．
则直线l：
+
=1，即bx+ay-ab=0．
∵直线l与圆x2+（y-1）2=1相切，
∴圆心（0，1）到直线l的距离等于半径，即
=1，化简得a2=
，
因此，AB2=a2+b2=
+b2，
设F（b）=
+b2，求导数得F'（b）=
+2b =
，其中（b＞2）
若F'（b）=0，可得b=
（另外两根小于2，舍去），
∵b∈（2，
）时，F'（b）＜0；b∈（
，+∞）时F'（b）＞0．
∴F（b）在（2，
）上单调递减；在（
，+∞）单调递增．
因此，当b=
时，AB2有最小值，此时a2=
=
+2，得a=
．
即当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为
．
则直线l：
| x |
| a |
| y |
| b |
∵直线l与圆x2+（y-1）2=1相切，
∴圆心（0，1）到直线l的距离等于半径，即
| |a-ab| | ||
|
| b |
| b-2 |
因此，AB2=a2+b2=
| b |
| b-2 |
设F（b）=
| b |
| b-2 |
| -2 |
| (b-2)2 |
| 2(b-1)(b2-3b+1) |
| (b-2)2 |
若F'（b）=0，可得b=
3+
| ||
| 2 |
∵b∈（2，
3+
| ||
| 2 |
3+
| ||
| 2 |
∴F（b）在（2，
3+
| ||
| 2 |
3+
| ||
| 2 |
因此，当b=
3+
| ||
| 2 |
| b |
| b-2 |
| 5 |
|
即当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为
3+
| ||
| 2 |
点评：本题给出动直线与定圆相切，求直线在两坐标轴上交点间的距离的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．
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