Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（

3

，0）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+1与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，P是弦AB的中点，OP的斜率为

2

3

（其中O为原点），求k的值．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；
（2）直线l与双曲线法才联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，依据以线段AB的中点求得p点坐标，进而利用斜率是

2

3

，求出k 的值．．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由已知得 a=

3

，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1．
（2）联立

y=kx+1 x2 3 -y2=1

得：（1-3k²）x²-6kx-6=0
△=36k2+24（1-k2）＞0得：3k²＜2
∵1-3k²≠0
∴3k²＜2  3k²≠1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6k

1-3k2

  x₁x₂=-

-6

1-3k2

∴p点坐标为（

3k

1-3k2

，

1

1-3k2

）
∵kop=

2

3

 
∴

1

3k

=

2

3

∴k=

1

2

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质以及直线和圆锥曲线的位置关系，类题是历年高考命题的热点，试题具有一定的综合性，覆盖面大，字母运算能力是一大考验．