Question

已知函数y=

1

2

sin(2x+

π

6

)，x∈R．
（1）写出函数的单调减区间、对称轴方程和对称中心；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求y的取值范围；
（3）说明由y=sinx的图象经过怎样的变换可以得到函数y=

1

2

sin(2x+

π

6

)的图象．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间，正弦函数的对称轴方程与对称中心坐标求出函数的对称轴方程和对称中心；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求出2x+

π

6

的范围，然后求y的取值范围；
（3）通过左加右减以及伸缩变换的原则，由y=sinx的图象经过向左平移

π

6

个单位，横坐标变为原来的

1

2

，然后将所有点的纵坐标变为原来的

1

2

得到函数y=

1

2

sin(2x+

π

6

)的图象．

解答：解：（1）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得函数的单调减区间[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]．k∈Z．
由2x+

π

6

=

π

2

+kπ(k∈Z)，得对称轴方程x=

π

6

+

kπ

2

(k∈Z)
由2x+

π

6

=kπ(k∈Z)，得对称中心(

kπ

2

-

π

12

，0)(k∈Z)
（2）x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，y∈[-1.2]．
（3）函数y=

1

2

sin(2x+

π

6

)的图象可以由y=sinx的图象先向左平移

π

6

个单位，
再将所有点的横坐标变为原来的

1

2

（纵坐标不变），
最后将所有点的纵坐标变为原来的

1

2

（横坐标不变）而得到．

点评：本题考查考查正弦函数的单调性，对称中心与对称轴方程的求法，三角函数的值与图象的变换，考查基本知识的掌握情况，考查计算能力．