Question

如图，在三棱锥P-ABC中PA=BC=2

2

，AB=PC=AC平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，AB⊥AC，点M，N分别在PA，CB上运动，PM=CN=a(0＜a＜2

2

)，
（Ⅰ）当a为何值时，MN的长最小？
（Ⅱ）当MN最小时，求二面角C-MN-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性质，可得PC⊥平面ABC，以C为原点，建立直角坐标系，求出M，N两点的坐标后，代入空间两点距离公式，结合二次函数的图象和性质，可得结论．
（II）结合（I）中结论，分别求出平面CMN的法向量和平面AMN的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角C-MN-A的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵平面PAC⊥平面ABC，PC⊥AC，平面PAC∩平面ABC=AC，PC?平面PAC
∴PC⊥平面ABC，
故可以C为原点，建立如图所示直角坐标系：
∵PA=BC=2

2

，PM=CN=a(0＜a＜2

2

)，
则M(

2 a

2

，0，2-

2 a

2

)，N(

2 a

2

，

2 a

2

，0)
∴|MN|=

a2-2 2 a+4

≥

2

当且仅当a=

2

，
即M，N分别为PA，CB中点时，MN的长最小．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，MN的长最小时．M（1，0，1），N（1，1，0），A（2，0，0），
故设平面CMN的法向量为

n1

=(x，y，z)
则：

n1 • CM =0 n1 • CN =0

，
令x=1得

n1

=(1，-1，-1)，
同理得平面AMN的法向量得

n2

=(1，1，1)，
故所求二面角的余弦值为cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

1

3

点评：本题考查的知识点是空间两点之间的距离，二面角的平面角及求法，其中建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．