题目内容

已知平面向量
AB
=
a
，
AC
=
b
，|
a
|=4，|
b
|=3，∠BAC=β，(2
a
-3
b
)(2
a
+
b
)=61．
（1）求β的大小；
（2）求△ABC的面积．
分析：（1）把原等式展开，利用两个向量的数量积的定义求出cosβ的值，从而求得β的值．
（2）由S△ABC=
1
2
|AB|•|AC|•sinβ，运算求得结果．
解答：解：（1）把原等式展开得：4
a
2-4
a
•
b
-3
b
2=61，…（2分） 
把|
a
|=4，|
b
|=3代入得
a
•
b
=-6．…（4分）
∴cosβ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=-
1
2
，…（7分） 故 β=
2π
3
． …（8分）
（2）S△ABC=
1
2
|AB|•|AC|•sinβ=
1
2
×4×3×
3
2
=3
3
．…（12分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，求出β=
2π
3
，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知平面向量
a
，
b
满足：|
a
|=1，|
b
|=2，
a
与
b
的夹角为
π
3
．若△ABC中
AB
=2
a
+2
b
，
AC
=2
a
-6
b
，D为边BC的中点，则|
AD
|=（　　）
已知对任意平面向量
AB
=（x，y），把
AB
绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量
AP
=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，2），B（1+
2
，2-2
2
）；把点B绕A点沿顺时针方向旋转
π
4
后得到点P，则P点坐标是
（0，-1）
（0，-1）
．
已知对任意平面向量
AB
=(x，y)，将
AB
绕其起点沿顺时针方向旋转θ角得到向量
AP
=(xcosθ+ysinθ，-xsinθ+ycosθ)，叫做将点B绕点A沿顺时针方向旋转θ角得到点P．
（1）已知平面内点A（1，2），点B(1+
2
，2-2
2
)，将点B绕点A沿顺时针方向旋转
π
4
得到点P，求点P的坐标；
（2）设平面内曲线3x2+3y2+2xy=4上的每一点绕坐标原点O沿顺时针方向旋转
π
4
得到的点的轨迹是曲线C，求曲线C的方程；
（3）过（2）中曲线C的焦点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，当
OA
•
OB
=0时，求△AOB的面积．

已知平面向量ab (R) .当时，a? b的值为            ; 若 a=λb  ,则实数λ的值为            .

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